ÉLASTICITÉ


ÉLASTICITÉ
ÉLASTICITÉ

La théorie de l’élasticité est la théorie des petites déformations continues et réversibles des milieux isotropes élastiques. Elle donne, en principe et moyennant certaines hypothèses, la solution théorique complète des problèmes posés en résistance des matériaux, dont elle tend de plus en plus à se rapprocher après en être restée tout d’abord indépendante. Les calculs auxquels cette théorie conduit ne peuvent être explicités que dans des cas relativement simples; dans les autres cas, on les simplifie en recherchant une première approximation de la solution mathématique rigoureuse (théorie des liaisons élastiques parfaites entre solides supposés indéformables, par exemple). Enfin, on fait appel à l’expérience soit pour vérifier les résultats des méthodes théoriques précédentes et les préciser lorsque leur approximation est insuffisante, soit pour les suppléer lorsqu’elles sont impuissantes, et, de toute façon, pour déterminer les caractéristiques élastiques intrinsèques des matériaux utilisés.

La théorie de l’élasticité suppose que les matériaux étudiés possèdent les trois propriétés suivantes:

– Tout d’abord, ils sont parfaitement élastiques (si les forces extérieures qui provoquent leur déformation ne dépassent pas une certaine limite, celle-là disparaît en même temps que la force qui lui a donné naissance). Les matériaux possèdent cette propriété à un degré variable en pratique.

– Ensuite, ils sont homogènes et distribués uniformément dans tout le volume qu’ils occupent, de telle sorte que le plus petit élément détaché d’un corps donné possède les mêmes propriétés physiques que le corps tout entier.

– Enfin, ils sont isotropes, c’est-à-dire que leurs propriétés élastiques sont les mêmes dans toutes leurs directions. Les matériaux utilisés dans les constructions ne satisfont pas en général, dans leur ensemble, à cette dernière hypothèse; ils sont en effet constitués souvent de cristaux (acier par exemple) de formes diverses et différemment orientés. Cependant, les théories générales de l’élasticité, quoique fondées sur l’homogénéité et l’isotropie, donnent des résultats tout à fait valables. En effet, tant que les dimensions globales des corps envisagés sont considérables par rapport à celles des cristaux, l’hypothèse de l’homogénéité est parfaitement justifiée. De plus, l’hypothèse de l’isotropie se trouve justifiée, elle aussi, puisque les cristaux se trouvent naturellement distribués au hasard dans la matière. Cependant, lorsque, à la suite de certains traitements industriels, le laminage par exemple, les cristaux s’orientent dans une direction bien déterminée, ils ne sont plus distribués au hasard, et les corps doivent alors être considérés comme anisotropes.

1. Tenseur des contraintes

Dans tout ce qui suit, les corps étudiés seront repérés par rapport à un système d’axes cartésiens orthogonaux (Ox 1x 2x 3), mais toutes les équations écrites resteront valables dans les autres systèmes de coordonnées. Les correspondances d’un système donné dans un autre figurent dans les ouvrages spécialisés indiqués dans la bibliographie. Dans le système d’axes orthogonaux (Ox 1x 2x 3), on utilisera, pour alléger l’écriture, la convention de l’indice muet et celle de l’indice franc. Soit, par exemple, A1, A2, A3 les projections sur les axes Ox 1, Ox 2, Ox 3 d’un vecteur だ; la convention de l’indice muet consiste, lorsqu’un indice littéral est répété deux fois dans un monôme, à remplacer ce dernier par la somme de tous les termes obtenus en donnant à cet indice les valeurs 1, 2, 3 dans ce monôme. Ainsi Ai Bi représente la somme

c’est-à-dire le produit scalaire des vecteurs だ et ち. Un indice non muet est dit franc; il ne peut apparaître qu’une seule fois dans un même monôme. Ainsi, dans Ai = Lij Bj , i est un indice franc et j est muet, et cette formule représente, en fait, les trois égalités classiques

Toujours par souci de concision, on notera par une virgule suivie d’un indice une dérivée partielle. Ainsi, A2,3 désigne la dérivée partielle 煉A2/ 煉x 3 de A2 par rapport à x 3.

Définition des efforts intérieurs de cohésion

Considérons un corps (S) en équilibre sous l’action d’un système de forces extérieures づ1... づn données (fig. 1) qui sont soit des forces réparties sur tout ou partie de la surface extérieure de (S), soit des forces de volume (pesanteur, champ électromagnétique, etc.). Dans ces conditions, des efforts intérieurs à (S) doivent être pris en considération, comme le montre l’analyse suivante. Coupons le corps (S) en deux parties (S1) et (S2), par une frontière ( ) passant par M; soit le vecteur unitaire normal à ( ) en M dirigé vers l’extérieur de (S1), c’est-à-dire vers l’intérieur de (S2). Pour que l’équilibre de (S1) ne soit pas détruit par la coupure sous l’effet des forces づi+1 ... づn agissant sur lui, des actions réparties sur ( ) doivent être exercées par (S2) sur (S1), ces actions étant dues aux forces づ1... づi agissant sur (S2). On admet que ces actions sont des actions de contact et que leur répartition sur ( ) est continue. Elles sont donc représentées par un champ de forces défini sur ( ) ayant, en chaque point de ( ), une densité superficielle de forces notée び. Ce vecteur び ne dépend que de M et de , on l’écrit び (M, ) et il est fonction, a priori, de cinq paramètres: les trois coordonnées de M et les paramètres fixant la direction de . Le vecteur び (M, ) s’appelle le vecteur contrainte en M pour la direction ou vecteur contrainte en M sur une facette normale à . Le scalaire 練 び (M, ) = Tn est la contrainte normale en M pour la direction ou sur une facette normale à . Si Tn est positif, on dit qu’au point M, et pour la direction , le matériau subit une tension ; si Tn est négatif, on dit qu’il subit une compression. Le vecteur

est la contrainte tangentielle en M ou contrainte de glissement ou de cisaillement pour la direction au point M.

Introduction du tenseur des contraintes

On peut écrire la loi fondamentale de la dynamique pour un domaine ( 行) intérieur à (S) limité par une surface ( ) fermée. Soit, à l’instant considéré, ゔ (M) l’accélération d’un point M de (S). Supposons que les forces données extérieures à (S) et s’exerçant sur ( 行) soient définies par une densité volumique (M); il ne peut pas, en effet, y avoir de telles forces extérieures de surface appliquées sur ( 行), puisque ( 行) est intérieur à (S) et les seules forces de surfaces agissant sur ( 行) sont des contraintes. La loi fondamentale appliquée à ( 行) dans le repère (Ox 1x 2x 3) absolu ou non (dans ce dernier cas (M) comprend les forces d’inertie d’entraînement et complémentaires) se traduit par:

d 靖 est un élément d’aire de ( ) et où d 猪 et dn sont respectivement la masse et le volume élémentaires en un point quelconque M de ( 行) (d 猪 = 福 dv si 福 est la masse volumique). Si, en particulier, on fait ゔ = dans ces deux équations, le corps considéré est en équilibre; l’équation (1) indique que la somme des forces appliquées à ( 行) est nulle, l’équation (2) que la somme des moments de ces forces au point O est nulle.

L’application de l’équation (1) au domaine ( 行) particulier constitué par un tétraèdre ayant pour sommet O et trois des faces dans les plans de coordonnées (fig. 2) permet d’écrire les contraintes en un point M de la face quelconque ABC de ( 行) ayant pour normale ; on obtient ainsi び (M, ) = Ti i avec Ti = 靖ij n j . Les neuf 靖ij sont des nombres et les i sont les vecteurs unitaires 1, 2 et 3 du repère (Ox 1x 2x 3). Les quantités 靖ij sont les composantes des contraintes en M, mais sur des facettes parallèles aux plans x 2x 3, x 3x 1, x 1x 2. Connaissant les 靖ij , les relations び (M, ) = びi size=1i et Ti = 靖ij n j (où les n j sont les cosinus directeurs de ) permettent de calculer les composantes de la contrainte agissant sur tout plan quelconque passant par M, quelle que soit son inclinaison (le plan ABC par exemple). Ainsi, les composantes de び (M, ) sont des formes linéaires et homogènes des composantes de , et l’opérateur linéaire faisant passer de à び, tenseur du second ordre, est appelé tenseur des contraintes en M et noté. Dans le système d’axes (Ox 1x 2x 3), ce tenseur est défini par les composantes 靖ij , qui sont les éléments de la matrice ( 靖ij ), les indices i et j désignant respectivement les numéros des lignes et des colonnes. Le tenseur varie avec le point M considéré; on a donc, en fait, un champ de tenseurs défini sur le solide. Si le tenseur est indépendant de M, on dit que le champ des contraintes est homogène.

Les 靖ij étant les composantes des contraintes en M sur des facettes parallèles aux plans de coordonnées, on peut les représenter graphiquement sur les faces d’un cube élémentaire parallèles à ces plans (fig. 3). Pour les faces du cube élémentaire perpendiculaires à l’axe Ox 2, par exemple, la composante normale de la contrainte est désignée par 靖22 et ses deux composantes tangentielles par 靖23 et 靖21. D’une manière générale, la composante 靖ij est celle agissant sur la face perpendiculaire à l’axe Ox i et dirigée suivant l’axe Ox j . Toutes les composantes pour lesquelles i = j sont donc des contraintes normales.

La matrice ( 靖ij ) associée au tenseur est écrite en (3) du tableau 1. Parfois, les contraintes normales sont notées 靖 (comme dans ce texte) mais les contraintes tangentielles sont notées 精 pour éviter les confusions. On n’emploiera pas cette notation ici pour alléger l’écriture. La relation び (M, ) = ( 靖ij n j ) i développée en (4) permet de calculer les composantes de la contrainte び (M, ) sur toute facette de normale unitaire , les composantes de étant n 1, n 2 et n 3 sur les axes Ox 1, Ox 2, Ox 3.

Équations de l’équilibre ou du mouvement

En supposant qu’à l’instant considéré ゔ est identiquement nul, on obtient les trois équations d’équilibre f i + 靖ij ,j = 0 écrites en une seule avec la convention de l’indice muet (i , j = 1, 2, 3). Dans le cas où ゔ n’est pas nul, il y a mouvement et l’on obtient 福塚i = f i + 靖ij ,j . Ces relations développées en (5) tiennent compte de la réciprocité des cisaillements 靖ij = 靖ji .

Symétrie du tenseur des contraintes

L’équation (2) conduit à 靖ij = 靖ji ; c’est la relation fondamentale de la réciprocité des cisaillements: le tenseur est, dans tous les cas, un tenseur symétrique. Ainsi, les efforts intérieurs sont définis à partir d’un champ de tenseurs symétriques du second ordre, c’est-à-dire à partir de six, et non plus neuf, fonctions inconnues 靖ij des trois coordonnées du point M et ces six fonctions sont liées par les trois équations d’équilibre ou les trois équations du mouvement précédentes. La deuxième matrice ( 靖ij ) écrite en (4) tient compte de cette symétrie.

Étude du tenseur des contraintes en un point

Supposons que l’on étudie le tenseur des contraintes en un point O pris comme origine des coordonnées et considérons une facette tournant autour de O. Pour chaque position de cette facette, il existe un vecteur normal unitaire en O défini par la convention précédemment explicitée. Considérons un vecteur OPde même direction que et de longueur OP = r / 連|Tn |, r étant un facteur constant d’homogénéité. Les coordonnées de l’extrémité de OPsont n 1 練 OP, n 2 練 OP, n 3 練 OP et, lorsque varie, on trouve que l’ensemble des points réels P admet pour équation 靖ij x i x j = size=1 r 2, ce qu’on a écrit sous forme développée en (6). Les points P se situent sur la quadrique des contraintes au point O qui est complètement déterminée par les conditions de contrainte au point O. Si l’on modifie la direction des axes de coordonnées (le point O demeurant fixe), la surface en question restera invariable et seules seront modifiées les composantes 靖ij de la contrainte, c’est-à-dire les coefficients de l’équation (6). Il existe alors un trièdre trirectangle (OX1X2X3), dit repère principal en O par rapport auquel les termes rectangles de (6) sont nuls, c’est-à-dire tel que 靖23 = 靖31 = 靖12 = 0; la matrice ( 靖ij ) donnant les composantes du tenseur est alors diagonale. Dans ce repère particulier, les seules contraintes qui subsistent sont les contraintes normales (perpendiculaires aux trois plans principaux de contrainte X2X3, X3X1, X1X2 sur lesquels elles agissent) 靖11, 靖22, 靖33 qui sont notées, dans ce cas particulier, 靖1, 靖2 et 靖3 et appelées contraintes principales en O. Les directions principales sont telles que et び (O, ) soient colinéaires; autrement dit, une direction est principale si, et seulement si, pour cette direction, la contrainte tangentielle est nulle. On a, dans ce cas, 1 = 靖1n 1, 2 = 靖2n 2 et 3 = 靖3n 3. Si 靖1, 靖2 et 靖3 sont tous différents de zéro et ont des valeurs distinctes, on dit que l’état de contrainte en O est triple : la quadrique des contraintes en O est alors une quadrique de centre O dont les axes sont situés selon les directions principales. Si 靖2 = 靖3, la quadrique est de révolution, les directions principales sont l’axe Ox 1 et toute direction issue de O et normale à Ox 1. Si enfin 靖1 = 靖2 = 靖3, l’ellipsoïde des contraintes est une sphère et, toute direction issue de O étant principale, toutes les contraintes sont normales.

D’une manière générale, la détermination des contraintes et des directions principales se fait, dans chaque cas particulier, en cherchant les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice ( 靖ij ) du tenseur.

Cercles de Mohr

Les quadriques de contraintes fournissent déjà une représentation géométrique complète du tenseur des contraintes. Les cercles de Mohr en donnent une image incomplète mais souvent très maniable; ils répondent au problème suivant: si l’on se donne arbitrairement les valeurs de Tn et de Tt (Tt 礪 O), existe-t-il une direction telle que ces valeurs soient respectivement celles de la contrainte normale et du module de la contrainte tangentielle pour cette direction?

Si l’on repère l’espace à l’aide d’un repère principal Ox i , alors Tn = 靖i n i 2, Tt 2 + Tn 2 = ( 靖i n i )2 et n i n i = 1. Ces trois équations n’ont de solution en n i que dans la zone grisée du demi-plan (Tn , Tt 礪 0) limité par les trois demi-cercles de la figure 4, appelés cercles de Mohr , admettant l’axe des Tn pour diamètre et deux à deux tangents (chaque cercle correspond à un plan perpendiculaire à l’un des trois vecteurs propres).

Ainsi, si 靖1 = 靖2 = 靖3 = s , le problème n’admet de solution que si Tn = s , Tt = 0 et, alors est arbitraire. Ces cercles permettent de déterminer la valeur maximale de la contrainte tangentielle (ou du cisaillement) en un point quelconque; en effet, la figure montre que

dans le cas où 靖3 麗 靖2 麗 靖1, pour Tn = ( 靖1 + 靖3)/2 et ces valeurs sont obtenues pour n 12 = n 32 = 1/2 et n 22 = 0, c’est-à-dire pour les directions des bissectrices de l’angle (Ox 1, Ox 3) formé par les deux directions principales correspondant aux valeurs propres extrêmes.

Champ plan de contraintes

Un champ de contraintes est dit plan si les contraintes sont toutes parallèles à un plan fixe. Si (Ox 1x 2) est choisi dans ce plan, les contraintes ne dépendent pas de Ox 3. Dans ce cas, le tenseur des contraintes est tel que 靖13 = 靖23 = 靖33 = 0 et sa matrice écrite en (7) est à deux lignes et deux colonnes. Les quadriques des contraintes sont alors des cylindres de génératrices parallèles à l’axe des x 3 et l’axe x 3 est un vecteur propre du tenseur (correspondant à la valeur propre nulle).

Sur les faces d’un petit cube d’arêtes parallèles aux axes, les contraintes se répartissent comme il est indiqué sur la figure 5.

2. Tenseur des déformations

Déformation d’un solide élastique

Un solide (S) subissant une déformation se transforme en un solide (S ) et un vecteur infiniment petit ABdu solide (S) se retrouve en A Baprès la transformation (fig. 6). La quantité scalaire 﨎 = (A B 漣 AB)/AB est la dilatation ou extension unitaire du segment AB; si 﨎 est positif, on dit qu’il y a eu traction de AB; s’il est négatif, il y a eu compression. Si les fonctions u i (i = 1, 2, 3) sont les composantes du déplacement AAdu point A de coordonnées x i , et si l’on appelle Xi les coordonnées de A , on a Xix i = u i (x 1, x 2, x 3). Les déplacements correspondants Ui du point voisin B (composantes de BB 轢) sont représentées par les trois équations Ui = u i + u i ,j dx j et, après déformation, les composantes de A Bsont dx i + u i ,j dxj . Le tenseur du second ordre faisant passer de ABà A B 轢, abstraction faite du déplacement AA 轢, est appelé tenseur des déformations en A et est noté. Dans le repère (Ox 1x 2x 3), ce tenseur est défini par ses neuf composantes u i ,j qui sont les éléments de la matrice (u i ,j ) écrite en (8) du tableau 2, les indices i et j désignant respectivement les numéros des lignes et des colonnes. Pour faire apparaître la déformation abstraction faite de la translation AA 轢, il suffit de mener A 1B 1équipollent à A Bpar le point A. Sur ABet A 1B 1 轢, portons respectivement les points 1 et 2 tels que A1 = A2 = 1. Le vecteur 12est appelé vecteur déplacement angulaire ou plus simplement déplacement angulaire (fig. 7). Il a même mesure que l’angle (AN1A2) exprimé en radians.

Considérons la facette (P) et un plan (Q) parallèle à (P) et infiniment voisin de (P); soit R l’intersection avec Q de la normale à la facette en A (fig. 8).

Au cours de la déformation, ce plan (Q) glisse par rapport au plan (P), de sorte que la ligne de points matériels AR cesse d’être normale à la facette. Soit alors A nla normale à la facette déformée (P ); le glissement de (Q) par rapport à (P) est mesuré par l’angle infiniment petit 塚 de A net A R 轢. Mais l’angle 塚 ne précise pas la direction dans laquelle s’est produit le glissement de (Q) par rapport à (P). Il suffit alors de porter sur A net A Rles points n 2 et n 1 tels que A n 2 = A n 1 = 1. Le vecteur n 2n 1a même mesure que l’angle 塚 exprimé en radians et pour direction celle du glissement de (Q) par rapport à (P). Ce vecteur n 2n 1est, par définition, le glissement de la facette considérée (fig. 9). Il faut remarquer qu’il n’est pas modifié par un déplacement d’ensemble. Comme la dilatation et contrairement au déplacement angulaire, le glissement a toujours la même valeur, que la déformation soit pure ou non.

Déformation pure et rotation pure

Le tenseur peut se mettre facilement sous la forme d’une somme de deux tenseurs et, les matrices correspondantes étant respectivement ( 﨎ij ) et ( 諸ij ),

Le tenseur correspond à une déformation pure sans rotation, et le tenseur à une rotation pure sans déformation, comme cela se produit dans le cas particulier d’un corps solide indéformable (fig. 10). Le tenseur est symétrique, est antisymétrique. Mais, si on considère seulement les déformations continues infiniment petites (d’un grand intérêt pratique), on arrive, en négligeant les infiniment petits du second ordre dans les expressions des 﨎ij et 諸ij , à:

expressions qui sont explicitées en (9) et (10).

Dans certains ouvrages, les termes 﨎23 = 﨎32, 﨎13 = 﨎31, 﨎12 = 﨎21 sont quelquefois notés g 1, g 2, g 3 ou encore 塚1/2, 塚2/2, 塚3/2 où les 塚i sont les glissements définis plus haut. De même 諸23 = 漣 諸32, 諸13 = 漣 諸31 et 諸12 = 漣 諸21 sont notés p , q et r par analogie avec les notations classiques des composantes de la rotation instantanée d’un corps solide.

Les six paramètres 﨎ij caractérisent la déformation pure ou intrinsèque , c’est-à-dire considérée en elle-même, abstraction faite du déplacement (ou translation) AAet de la rotation. Cette déformation intrinsèque est caractérisée par les variations des distances mutuelles des points de l’élément de volume considéré du corps, autrement dit par les dilatations des divers segments infiniment petits de l’élément de volume. Si ces six paramètres sont tous nuls en un point, il n’y a pas de déformation pure dans la petite portion de volume entourant ce point et réciproquement.

La somme = 﨎11 + 﨎22 + 﨎33 est un invariant, quel que soit le système d’axes considéré, et elle est appelée dilatation cubique unitaire (par unité de volume) due à la déformation en un point. Cette invariance est une propriété mathématique classique; la trace de la matrice ( 﨎ij ) ne dépend pas de la base.

Étude du tenseur size=5size=5杻 size=5參 en un point

En menant, comme on l’a fait pour le tenseur des contraintes, dans la direction de chaque élément linéaire du solide dont le vecteur unitaire est , un rayon vecteur AP= 福 , où 福 = r/ 連 﨎u |, où 﨎u = u iij u j , on trouve que l’ensemble des points réels P, lorsque tourne autour de A, est une surface d’équation 﨎ij x i x j = size=1 r 2 explicitée en (11). Elle est appelée quadrique des déformations en A. Les axes de cette quadrique sont les axes principaux de déformation en A et les trois plans correspondants, les plans principaux de déformation en A. Dans ce système d’axes, la matrice associée à est diagonale; les déformations transversales 﨎ij (i j ) sont nulles pour ces directions, et les allongements 﨎11, 﨎22, 﨎33, notés dans ce cas 﨎1, 﨎2, 﨎3, sont appelés allongements principaux en A. Les axes principaux de déformation demeurent perpendiculaires après déformation, et un parallélépipède, dont les faces sont parallèles aux plans principaux, reste, après déformation, un parallélépipède rectangle.

La connaissance de la quadrique des déformations permet de trouver géométriquement le module de l’allongement unitaire dans n’importe quelle direction.

Déformation homogène, déformation plane

La déformation est dite homogène si les fonctions u i et Ui précédentes sont linéaires en x k . Tous les termes du tenseur sont alors des constantes. Quelle que soit la direction, la déformation est, dans ce cas, la même pour tous les points du corps déformé.

On dit que la déformation d’un corps est plane lorsqu’en tous les points de chaque perpendiculaire à un plan fixe (P) les déformations sont identiques et toutes parallèles à (P).

Conditions de compatibilité

Étant donné un solide déformé, les six paramètres 﨎ij sont des fonctions continues des coordonnées x k des points du corps. Ces fonctions ne peuvent être entièrement arbitraires; il est, en effet, nécessaire que l’on puisse trouver des fonctions u i (indépendantes des translations et des rotations subies antérieurement par le corps), telles que les 﨎ij satisfassent aux définitions (9). En dérivant deux fois ces égalités par rapport à x 1, x 2, x 3 et en éliminant u 1, u 2, u 3, on trouve six relations dites conditions nécessaires de compatibilité. Elles sont écrites en (12). On montre que ces six conditions sont également suffisantes pour les corps simplement connexes, alors que, pour les corps multiplement connexes, on doit ajouter des conditions exprimant qu’il n’y a pas déplacement relatif, au cours de la déformation, des deux lèvres d’une coupure quelconque rendant le corps simplement connexe.

Comme on vient de le voir, un élément quelconque d’un corps peut être amené à sa position, sa forme et son orientation finales par la séquence des trois opérations suivantes appliquées à l’élément avant déformation:

– l’élément est déplacé par translation jusqu’à ce qu’un de ses points (son centre de gravité par exemple) occupe la position finale;

– l’élément subit les déformations 﨎ij et son orientation reste telle que les directions principales de déformation ne subissent aucune rotation (tenseur);

– l’élément subit une rotation 諸ij qui l’amène à son orientation finale (tenseur); c’est la rotation des directions principales de déformation qui est indépendante du choix des axes Ox 1, Ox 2, Ox 3.

3. Relations entre les contraintes et les déformations

Forces internes et déformations

Les forces intérieures dans un solide sont des actions s’exerçant de proche en proche; autrement dit, une molécule du corps n’exerce d’actions que sur les molécules immédiatement voisines. Il en résulte que les déformations en un point d’un corps dépendent de l’état de contrainte en ce point et en ce point seulement; il existe donc a priori une relation entre le tenseur des contraintes en un point et le tenseur des déformations en ce même point; et cela en chaque point du solide.

Or, la translation et la rotation pure n’introduisent pas de contraintes dans le solide; il s’ensuit que le tenseur ne doit pas intervenir dans cette relation qui doit donc lier le tenseur des contraintes au tenseur de déformation pure seul.

Pour un corps élastique, il y a donc en un point une relation entre les 靖ij et les 﨎ij , c’est-à-dire que la connaissance des six premières entraîne celle des six autres, et réciproquement; il existe donc six relations de la forme 靖ij = f ij ( 﨎kl ) où f ij est la fonction particulière reliant 﨎kl à 靖ij . Les déformations étant par hypothèse infiniment petites, chacune de ces fonctions f ij peut être remplacée par son développement limité au premier ordre; on a ainsi un système de six relations de la forme:

où les 靖ij 0 sont les contraintes à l’état initial, nulles si, dans cet état, le corps n’est pas sollicité et s’il est en régime de température uniforme. En résolvant ce système en 﨎ij , on montrerait de même que les déformations sont des fonctions linéaires des contraintes. Les trente-six coefficientsij k précédents qui relient les déformations aux contraintes sont les coefficients d’élasticité. Ils se réduisent en fait à vingt et un, car on démontre queij =ji . La proportionnalité en un point entre la déformation intrinsèque et les contraintes constitue le principe de linéarité interne. Contrairement au principe de linéarité externe qui est fréquemment en défaut (voir ci-dessous), le principe de linéarité interne est toujours valable pour les matériaux de construction utilisés dans leur domaine élastique, car ces matériaux, du fait de leur rigidité, ne peuvent subir dans ce domaine que de très petites déformations intrinsèques.

Cas des corps homogènes et isotropes

Il est aisé de voir que, dans ces cas, les vingt et un coefficients d’élasticité se réduisent à deux. En effet, soit E et E les quadriques des contraintes et des déformations en un point d’un corps homogène et isotrope. Un plan principal de E constitue un plan de symétrie pour les contraintes; l’isotropie du corps exige alors que ce plan soit également plan de symétrie pour la déformation. Tout plan principal de E est donc aussi plan principal de E . Il en résulte que, en chaque point d’un corps homogène et isotrope, la quadrique des contraintes et celle des déformations ont mêmes directions principales. En prenant ces directions principales comme axes de coordonnées, les dilatations et contraintes principales 﨎1, 﨎2, 﨎3 et 靖1, 靖2, 靖3 restent donc seules différentes de zéro. Les équations précédentes reliant les contraintes et les déformations se réduisent aux trois relations 靖i =ijj explicitées en (13) du tableau 3 et où, pour simplifier, les contraintes initiales sont supposées nulles.

Du fait de l’isotropie, on a: ij =ji d’où 靖i = 見﨎i + 廓 ( 﨎j + 﨎k ) avec i , j , ou k = 1, 2, 3 et i , j , k tous différents; ces trois relations, explicitées en (14), ne contiennent plus que deux coefficients d’élasticité 見 et 廓. Elles peuvent encore se mettre sous la forme 靖i = + 2 猪 﨎i développée en (15) avec = 廓 et 猪 = 見 漣 廓. Les deux coefficients et 猪 sont les coefficients d’élasticité de Lamé.

Proportionnalité du glissement et du cisaillement

Les quantités 﨎11, 﨎22, 﨎33 sont les dilatations dans la direction des axes de coordonnées. Le point P situé sur Ox et tel que OP = 1 vient, dans la déformation pure, en P1, de coordonnées (1 + 﨎11, 﨎12, 﨎13). Les projections sur Oz et Oy du déplacement angulaire de P sont donc 﨎13 et 﨎12 et celles du glissement de la facette perpendiculaire à Ox sont 2 﨎13 et 2 﨎12. L’interprétation est analogue pour les deux autres facettes principales. Les 﨎23, 﨎13, 﨎12 sont donc les demi-composantes du glissement des plans principaux, ces demi-composantes se combinant comme sur la figure 11. Par définition, les directions principales n’ont pas de déplacement angulaire dans la déformation pure; si donc on prend ces directions comme axes de coordonnées, on a: 﨎23 = 﨎13 = 﨎12 = 0 et l’on peut poser 﨎11 = 﨎1, 﨎22 = 﨎2, 﨎33 = 﨎3.

La représentation de Mohr relative aux contraintes montre que, pour une facette d’orientation donnée par rapport aux contraintes principales, le cisaillement est fonction des différences des contraintes principales. La construction du demi-glissement est analogue et ce demi-glissement est fonction des demi-différences des dilatations principales. Or les différences des dilatations principales sont proportionnelles aux différences des contraintes principales, puisque les relations (15) donnent:

Le glissement est donc aussi proportionnel au cisaillement et on a 靖ij = 2 猪 﨎ij (i j ), expressions explicitées en (16).

Le coefficient 猪 de Lamé est souvent désigné par G que l’on appelle module de Coulomb , de torsion ou de glissement. Les relations (16) s’expriment aussi en fonction du glissement 塚: 靖ij = 猪 塚ij .

Relations générales entre les contraintes et les déformations

Dans le cas général, les axes de coordonnées n’étant pas les axes principaux, pour les corps homogènes et isotropes, on peut écrire simultanément les équations (15) et (16), en remplaçant dans (15) 靖i par 靖ii et 﨎i par 﨎ii . Inversement, ces équations peuvent être résolues en 﨎ii et 﨎ij (i j ) pour obtenir les déformations en fonction des contraintes.

On pose:

ou inversement

Le nombre E est appelé module d’Young ou module élastique du matériau constituant le corps considéré. C’est une caractéristique intrinsèque de ce matériau et il a, comme une contrainte, les dimensions d’une pression. Le nombre 益 est appelé coefficient de Poisson du matériau dont il est également une caractéristique intrinsèque; il est sans dimension.

Compte tenu de ces deux nouvelles quantités, les équations (15) et (16) s’écrivent alors sous la forme générale (17) et (18).

Les coefficients E et 益 ne constituent pas deux nouveaux coefficients d’élasticité puisqu’ils ne sont pas indépendants des coefficients de Lamé et 猪. En effet, il ne peut y avoir, pour une substance homogène et isotrope donnée, que deux coefficients d’élasticité indépendants.

Signification physique du module de Young et du coefficient de Poisson

Sur une tige cylindrique de section droite S, on marque deux traits distants de l 0 sur une même génératrice (fig. 12). Aux deux extrémités de la tige, on applique suivant son axe une force Fx au moyen d’une machine de traction. La tige s’allonge et la distance des deux traits devient

où 﨎11 est la dilatation linéaire suivant Ox .

L’état de contrainte dans cette barre, à une distance suffisante des extrémités, est un état de contrainte simple d’axe Ox 1. La contrainte principale non nulle, 靖11, est dirigée selon l’axe Ox et a pour valeur Fx /S. En d’autres termes, l’état de contrainte est:

La région centrale de la barre est en état de traction simple. Les dilatations principales sont alors, en vertu des formules qui précèdent,

Ces relations montrent que la force FX provoque dans la barre:

– un allongement selon Ox 1, caractérisé par la dilatation 﨎1;

– une contraction transversale selon un axe quelconque perpendiculaire à Ox 1, caractérisée par la dilatation 﨎2.

On voit aussi que le module d’Young est égal au rapport de la contrainte principale à la dilatation correspondante dans un état de traction simple. C’est également la contrainte qu’il faudrait appliquer à la tige, si le domaine élastique n’était pas limité, pour que son allongement devienne égal à sa longueur initiale – autrement dit, pour doubler la longueur de la barre.

Le coefficient de Poisson est égal au rapport de la contraction transversale et de la dilatation longitudinale.

La dilatation cubique est:

Elle est positive dans l’expérience de traction (sauf pour le caoutchouc) et s’accompagne d’une augmentation de volume.

Il est facile de déterminer expérimentalement les coefficients E et 益. Si l’on augmente lentement et progressivement Fx jusqu’à 1 dans l’expérience précédente, 靖1 et 﨎1, ainsi que 﨎2 égal à 﨎3, varient. En portant 﨎1 en abscisse et 靖1 en ordonnée, on obtient une courbe OA appelée courbe de charge ou courbe de traction (fig. 13). Puis, en diminuant lentement Fx jusqu’à zéro, 﨎1 diminue et les nouveaux couples ( 靖1, 﨎1) se placent exactement sur la même droite OA que celle suivie pendant l’accroissement de F, ce qui caractérise l’élasticité de la matière: lorsque Fx reprend la valeur zéro, la longueur de la tige est égale exactement à sa longueur initiale l 0 et 﨎1 est nulle. Le domaine élastique est représenté par la droite OL et s’étend jusqu’à L qui correspond à une valeur 靖e de la contrainte appelée limite élastique. Dans cette zone, la déformation est réversible et il existe une relation linéaire entre la contrainte et la déformation qui constitue la loi de Hooke . Au-delà de la limite élastique L, la courbe de décharge A B ne coïncide plus avec la courbe de charge OA et il reste une déformation permanente OB lorsque la force Fx disparaît. La zone LA est appelée zone de plasticité . Si Fx croît encore au-delà de A , la tige se rompt pour une certaine valeur; des matériaux fragiles (fonte, verre) se rompent en traction sans avoir reçu de déformation permanente appréciable.

La valeur usuelle de 益 pour la plupart des métaux est comprise entre 0,25 et 0,30; elle est de 0,5 pour le caoutchouc. Le coefficient de Poisson est toujours positif; il n’existe pas aujourd’hui de matériaux pour lesquels 益 serait négatif (augmentation de section en traction). Si 益 = 0,30, on déduit G = (5/13) E; par exemple, pour l’acier, E = 2 練 1011 pascals et G 力 8 練 1010 pascals.

Critères de limite élastique

Dans l’expérience précédente de traction, les deux contraintes 靖2 et 靖3 sont nulles. Dans ces conditions, on définit une limite élastique 靖e à ne pas dépasser pour 靖1 afin que le matériau ne subisse pas de déformation permanente. Il est utile de savoir quelle est la limite élastique lorsque les trois contraintes principales sont différentes de zéro.

On peut admettre que, dans le cas d’un matériau homogène et isotrope, la limite élastique ne dépend que de la grandeur des contraintes principales et non pas de leurs directions. Le critère généralement utilisé est celui de Tresca, d’après lequel la limite élastique est atteinte lorsque le rayon du plus grand des trois cercles de Mohr atteint la valeur 精E (c’est la composante tangentielle maximale 精e de la contrainte qui produit la déformation permanente par glissement des particules matérielles). Si 靖1 et 靖2 sont les deux contraintes principales extrêmes et 靖3 la contrainte moyenne, le critère de Tresca s’écrit:

Un autre critère faisant intervenir 靖3 a été proposé par von Misès:

Pour les matériaux plastiques, ces deux critères donnent d’assez bons résultats. Mais pour les autres matériaux, ils s’éloignent de la réalité. Caquot a perfectionné le critère de Tresca par la théorie de la courbe intrinsèque; pour chaque matériau, il existe une fonction f ( 靖1 + 靖2) telle que la limite élastique soit définie par:

en supposant toujours que 靖1 et 靖2 sont les contraintes extrêmes. La fonction f ( 靖1 + 靖2) est à déterminer expérimentalement. On a également proposé un critère encore plus général:

réunissant les avantages que présentent séparément tous les critères précédents. La fonction g qui doit encore être déterminée expérimentalement a l’allure indiquée par la figure 14.

4. Déformations élastiques linéaires

Principe de superposition. État naturel

En restant dans le domaine linéaire élastique, on peut utiliser le principe de superposition: si, à deux états de contraintes, correspondent deux états de déformations, la superposition des contraintes correspondra à celle des déformations. Cela suppose naturellement qu’à une déformation nulle correspondent des efforts intérieurs nuls, c’est-à-dire que le solide soit dans l’état naturel. En réalité, cela n’est jamais réalisé exactement. La trempe des métaux laisse subsister des contraintes intérieures importantes en l’absence de toute force extérieure. C’est pour les diminuer qu’on procède au recuit. De même, en l’absence de force extérieure, le fait de porter un solide à une température non uniforme crée à l’intérieur de celui-ci des contraintes thermiques. Le principe de superposition ne s’applique qu’aux variations des contraintes , à partir de l’état initial qui n’est pas toujours un état naturel. La théorie de l’élasticité ne permet de calculer que les variations de ces contraintes.

Principe de linéarité externe

Appliquons à un corps un chargement (F) composé d’un certain nombre de forces づ1, づ2, ..., づn et soit u , v, w les composantes du déplacement d’un point M du corps. Soit (F) le chargement obtenu en multipliant toutes les forces par un nombre; la direction des forces reste inchangée. On dit qu’il y a linéarité externe si u , v et w sont proportionnels à la grandeur du chargement. Ce principe doit être distingué du principe de linéarité interne qui suppose la proportionnalité des six paramètres de déformation locaux 﨎ij aux chargements et aux contraintes 靖ij .

Puisque les déformations sont élastiques, u , v et w sont, par définition, des fonctions bien définies de. On montre que les petites déformations d’un solide élastique obéissent en général au principe de linéarité externe. Cependant, ce principe peut être mis en défaut même pour des corps très rigides pour lesquels les déplacements u , v et w ont des valeurs notables; c’est le cas d’une poutre en acier très élancée pour laquelle les déplacements u , v et w peuvent être grands, même si, localement, le principe de linéarité interne est respecté.

Théorème de Clapeyron et théorème de réciprocité

Le théorème de Clapeyron, valable sous réserve qu’il y ait linéarité externe, s’énonce de la façon suivante: Le travail (ou énergie de déformation) dépensé pour faire passer un système d’un état initial S0 non sollicité à un nouvel état S d’équilibre sous l’action d’un chargement (F) est égal à la moitié du travail des forces extérieures produisant la déformation totale.

Le théorème de réciprocité, valable sous la même réserve, s’énonce: Si deux systèmes de forces (F1) et (F2), appliqués séparément à un ensemble de solides, lui impriment des systèmes de déplacement élastiques respectifs ( 1) et ( 2), le travail de (F1) sur ( 2) est égal à celui de (F2) sur ( 1).

Dans le cas général d’axes Ox 1, Ox 2, Ox 3 quelconques, cette énergie de déformation s’écrit:

5. Le problème général de l’élasticité

Détermination des déplacements, des déformations et des contraintes

Un corps élastique résiste en se déformant aux actions de surface auxquelles il est soumis, et des contraintes apparaissent dans ce corps; les actions de surface étant données, quelles sont, pour tous les points du corps, les déformations, les déplacements et les contraintes?

Si le champ des déplacements u i (x k ) a été déterminé, les déformations et les contraintes s’en déduisent immédiatement par les formules du tableau 3. Inversement, si les déformations ou les contraintes ont été déterminées, on pourra en déduire les déplacements par les formules (19) et (20) du tableau 4 obtenues en intégrant les équations (9) et en passant par l’intermédiaire des relations (10) du tableau 2. Dans ces relations, les indices zéro sont relatifs à un point origine O quelconque, et les intégrales sont étendues à une ligne quelconque joignant O à M. Ces déplacements ne sont définis qu’à une rotation et une translation près.

Équations aux déplacements

Supposons les déplacements infiniment petits. En chaque point intérieur du corps, il est nécessaire que les fonctions u 1, u 2, u 3 soient telles que les contraintes qui y apparaissent satisfassent aux trois équations d’équilibre (5), et cette condition est suffisante. On obtiendra donc les équations générales portants sur u 1, u 2, u 3 en remplaçant, dans les équations d’équilibre, les valeurs 靖ij en fonction des u k , c’est-à-dire les valeurs (15) et (16), compte tenu des relations (9). On est conduit alors aux trois équations (21) où

est le laplacien, et où les X1m sont les composantes cartésiennes des forces de volume. L’intégration de ces équations introduit des fonctions arbitraires déterminées par les conditions à la surface qui s’écrivent facilement à partir des égalités (4) du tableau 1.

Équations aux déformations et équations aux contraintes

Les équations devant être satisfaites en tous les points du corps seront au nombre de neuf: les six équations de compatibilité (12) et les trois équations obtenues en remplaçant les 靖ij par leurs valeurs en fonction des 﨎11, 﨎22, 﨎33 dans les trois équations de l’équilibre (5). Les trois conditions de surface s’obtiennent immédiatement à partir des équations (4). Ces douze égalités sont nécessaires et suffisantes pour les corps simplement connexes. Pour les corps multiplement connexes il y a lieu d’ajouter les conditions spéciales dont il a été question précédemment.

Les équations aux contraintes sont au nombre de neuf: les trois équations d’équilibre (5) et les six équations obtenues en remplaçant dans les équations de compatibilité (12) les 﨎11, 﨎22, 﨎33 par leurs valeurs en fonction des 靖ij . On obtient les équations de Beltrami avec la même réserve que ci-dessus pour les corps multiplement connexes.

6. Cas des corps réels

Dans la théorie de l’élasticité, on admet, comme on l’a vu plus haut, que les actions réciproques des divers éléments de matière sont des actions de proche en proche. Dans un corps réel, quelle que soit la conception physique des actions mécaniques internes considérée, un élément de matière a certainement une action sur des éléments situés à une distance petite mais finie; on peut, cependant, admettre qu’au-delà d’une distance d 1 qui est très petite, l’action mutuelle de deux particules est négligeable.

Longueur d’homogénéité

La matière réelle n’est en fait ni homogène, ni isotrope; un morceau d’acier, par exemple, est constitué par un agrégat complexe de cristaux d’espèces différentes enchevêtrés entre eux. Les seules propriétés qui soient les mêmes en tous les points et dans toutes les directions sont celles qui sont relatives à une quantité finie de matière composée d’un très grand nombre de cristaux considérés globalement. On ne peut donc imaginer la matière réelle comme homogène et isotrope que si on ne l’examine pas à une trop petite échelle.

Considérons des petits cubes de matière de côtés l ; il existe une longueur l 1 au-dessous de laquelle ces petits cubes ne peuvent être considérés comme ayant les mêmes propriétés et cela à cause de l’hétérogénéité microscopique de la matière. La longueur l 1 est la longueur d’homogénéité. Pour l’acier, l 1 peut être de l’ordre du dixième de millimètre; pour certains alliages, elle peut être beaucoup plus grande.

On peut considérer qu’on a toujours l 1d 1. Il résulte de ces considérations qu’une théorie supposant les corps homogènes et isotropes ne sera entièrement applicable aux corps réels que si les longueurs qui interviennent dans cette théorie sont supérieures à l 1 et à d 1. Tel n’est pas le cas de la théorie de l’élasticité qui fait intervenir des longueurs infiniment petites. Examinons les difficultés qui peuvent en résulter pour la définition de la contrainte.

Contraintes

Soit un élément d 行 de la surface ( ) d’un corps donné et soit la somme des forces internes appliquées à d 行. Portons en abscisse d 行 et en ordonnée s /d 行 et faisons tendre d 行 vers zéro. Le rapport s /d 行 est bien défini et varie de manière continue tant que d 行 礪 d1, d1 étant une surface dont les dimensions sont du même ordre de grandeur que la longueur d’homogénéité. Lorsque d 行 麗 d1, s /d 行 a des valeurs incohérentes. Deux cas peuvent alors se produire:

1. Le rapport s /d 行 atteint pratiquement une valeur limite et une direction limite avant que d 行 ait atteint la valeur d1; on appelle alors contrainte le vecteur ayant pour grandeur et direction ces valeurs limites. Bien que ce soit physiquement incorrect, on peut dire, d’une manière abrégée, que la contrainte est la limite du rapport s /d 行 lorsque d 行 tend vers zéro (fig. 15 a).

2. Le rapport s /d 行 n’a pas encore atteint de valeur limite lorsque d 行 = d1 (fig. 15 b); on ne peut alors définir la contrainte, et la théorie classique tombe en défaut. Ce cas se produit:

– lorsque les cristaux ne sont pas très petits par rapport aux dimensions de la pièce;

– dans les régions où les efforts internes varient rapidement d’un point à un autre, ce qui se produit aux environs des régions de la surface extérieure ayant une très forte courbure ainsi qu’au voisinage des points de la surface extérieure où sont appliqués des efforts concentrés, par exemple dans les régions où deux pièces, dont l’une a une forte courbure, entrent en contact ponctuel. Certaines anomalies dans les lois de la rupture des pièces peuvent d’ailleurs résulter de cette impossibilité de définir la contrainte.

7. Photoélasticité

Lorsque la forme de la pièce à étudier est trop compliquée pour que les calculs théoriques soient abordables, on utilise des méthodes de calcul numérique (calculs aux différences finies) ou des méthodes expérimentales telles que la mesure des déformations par jauges de contraintes ou encore la méthode photoélasticimétrique. Elle consiste à examiner les pièces soumises à des efforts mécaniques à l’aide d’une lumière polarisée qui fait apparaître des franges brillamment colorées, variables suivant la grandeur des efforts auxquels la pièce est soumise et que l’on étalonne en appliquant par exemple à l’éprouvette des efforts simples (cf. LUMIÈRE – Diffraction). On détermine ainsi également la différence des contraintes principales et leurs directions à l’aide de polaroscopes simples et leurs grandeurs à l’aide d’appareils plus compliqués. La photoélasticimétrie est aussi possible à trois dimensions; dans ce cas, on utilise souvent des résines spéciales enduites à chaud sur les pièces à étudier et qu’on laisse refroidir sous charge. Celles-ci sont ensuite découpées puis examinées au polaroscope, et on en déduit les contraintes. La méthode photoélasticimétrique a permis d’aboutir à des résultats particulièrement importants dans l’étude des zones de concentration de contraintes au voisinage des ouvertures ou des angles rentrants des pièces; dans ces zones, en effet, les contraintes sont particulièrement élevées.

élasticité [ elastisite ] n. f.
• 1687; lat. sc. elasticitas élastique
1Propriété qu'ont certains corps de reprendre (au moins partiellement) leur forme et leur volume primitifs quand la force qui s'exerçait sur eux cesse d'agir. L'élasticité du caoutchouc. Élasticité des gaz. compressibilité; détente, expansion. Élasticité des métaux (de traction, de torsion, de flexion). extensibilité, flexibilité. Limite d'élasticité, au-delà de laquelle les corps restent déformés. Coefficient d'élasticité. Module d'élasticité : constante qui relie la déformation à la contrainte subie par le corps élastique. Constante d'élasticité : inverse du module. — Physiol. Élasticité des artères, des muscles, des poumons.
Par ext. Souplesse. « Il marchait en éprouvant à chaque pas, soigneusement, l'élasticité du jarret et du cou-de-pied » (Colette).
2Fig. Aptitude à réagir vivement, à se redresser. 1. ressort. « L'esprit mis à la gêne perd toute son élasticité » (Voltaire).
3Fig. Aptitude à se plier, à s'adapter. souplesse. « Impitoyable dictature que celle de l'opinion; n'implorez d'elle ni indulgence, ni élasticité quelconque dans l'application de ses lois » (Baudelaire). Péj. L'élasticité d'une conscience, d'une morale, son manque de rigueur. ⇒ laxisme.
Possibilité de s'interpréter, de s'appliquer de façons diverses. Tirer parti de l'élasticité d'un règlement. Spécialt Possibilité de s'élargir. L'élasticité d'un budget.
Écon. Élasticité d'un phénomène (par rapport à un autre),le quotient de leur variation relative. L'élasticité de l'offre et de la demande.
⊗ CONTR. Rigidité, rigueur.

élasticité nom féminin (latin scientifique elasticitas, -atis) Aptitude d'un corps à reprendre, après sollicitations, la forme et les dimensions qu'il avait avant d'être soumis à ces sollicitations. Propriété que possèdent certains tissus (muscles, artères, poumons, etc.) de se laisser distendre puis de revenir à leur forme et à leur volume primitifs lorsque la cause qui les a déformés a cessé d'agir. Souplesse alliée à la vigueur, à l'agilité chez quelqu'un, un animal, dans leur manière de se déplacer : L'élasticité de sa démarche. Familier. Possibilité pour quelque chose d'être adapté aux circonstances, d'être interprété de façons variées ; flexibilité : L'élasticité de certaines lois donne toute latitude au juge. Absence de rigidité, possibilité de variation relative d'un phénomène par rapport à un autre : Une certaine élasticité de la demande et de l'offre.élasticité (expressions) nom féminin (latin scientifique elasticitas, -atis) Élasticité caoutchoutique, aptitude des élastomères à subir des allongements très élevés sous l'influence d'une traction et à récupérer leurs dimensions initiales lorsque l'effort a cessé. Élasticité de (la) conscience, absence de rigueur morale. Limite d'élasticité, contrainte telle que tout dépassement a pour effet de provoquer des déformations résiduelles irréversibles dans la matière qui la subit. Module d'élasticité longitudinale, rapport constant qui existe entre une contrainte de compression ou de traction et la variation unitaire de longueur qu'elle provoque.

élasticité
n. f.
d1./d Propriété des corps qui tendent à reprendre leur forme première après avoir été déformés. L'étude de l'élasticité des solides relève de la résistance des matériaux. Limite d'élasticité, au-delà de laquelle le corps conserve la déformation qu'on lui a fait subir.
|| Par ext. Qualité d'un objet fait de matière élastique. L'élasticité d'un ressort.
L'élasticité de la peau, des muscles.
d2./d Souplesse. L'élasticité des membres.
d3./d Fig. Faculté d'adaptation. L'élasticité d'un règlement.
|| Péjor. L'élasticité d'une conscience.
d4./d ECON Coefficient servant à mesurer la variation d'une grandeur (la demande, l'offre) relativement à celle d'une autre (prix, revenu). L'élasticité de la demande.

⇒ÉLASTICITÉ, subst. fém.
A.— PHYS. Propriété de certains corps ou de certaines matières, qui reprennent, du moins partiellement, leur forme ou leur volume primitifs après qu'a cessé la force qui s'exerçait sur eux. Élasticité des gaz, des liquides, des solides; élasticité des métaux. Quant à l'élasticité de l'air, la chaleur le développe (BERN. DE ST-P., Harm. nat., 1814, p. 136) :
1. ... les lois du monde physique, comme la gravitation qui fait descendre le poids d'une horloge, le magnétisme qui dirige l'aiguille d'une boussole, l'élasticité de l'acier, la pesanteur de l'atmosphère, ...
SAY, Traité d'écon. pol., 1832, p. 71.
Coefficient d'élasticité. ,,Rapport constant qui existe entre la force P de tension ou de compression par unité de surface du prisme considéré, et l'allongement i ou le raccourcissement qui en résulte sur l'unité de longueur`` (CHABAT 1881). Pour étudier le bois au point de vue élastique, (...), il faudrait (...) faire intervenir les 36 coefficients d'élasticité autour d'un point (CAMPREDON, Bois, 1948, p. 41). Cf. également coefficient B.
Limite d'élasticité (d'un matériau). ,,La plus petite valeur du travail unitaire à partir de laquelle la déformation reste permanente`` (NOËL 1968). On peut employer aussi des aciers à limite d'élasticité et à résistance à la rupture plus élevées (BOURDE, Trav. publ., 1928, p. 266).
Module d'élasticité. ,,Quotient de l'effort de traction par l'allongement pour un cylindre de longueur et de section unités; il mesure la rigidité du métal`` (BAT. 1972). Pour connaître les divers degrés d'allongement ou d'élasticité des corps, (...), on les rapporte à une unité connue que l'on appelle module d'élasticité (BOURDE, Trav. publ., 1928p. 25).
B.— P. ext., usuel
1. Propriété d'un élément, d'un objet, d'un matériau, doué d'une grande souplesse ou flexibilité. Élasticité du caoutchouc, d'un ressort, d'un sommier. Les bas de soie doivent posséder deux qualités en apparence contradictoires : l'élasticité qui implique un tissage serré — et la transparence (VAILLAND, Drôle de jeu, 1945, p. 222). Des épaisseurs de mousse et d'aiguilles de sapins donnent au sol une élasticité merveilleuse (GREEN, Journal, 1949, p. 254) :
2. Quoique leurs tiges [des bouleaux] soient tendres comme celles des bois blancs, creuses comme celles des bambous, et qu'ils portent des cimes fort étendues, elles résistent par leur élasticité aux vents, qui rompraient des colonnes de granit du même diamètre et de la même hauteur.
BERNARDIN DE SAINT-PIERRE, Harmonies de la nature, 1814, p. 93.
Rem. On relève qq. ex. dans lesquels le subst. est au plur., dans des tournures brachylogiques où le subst. est employé à la place de l'adj. correspondant. C'est un procédé du « style artiste », lancé dans la 2e moitié du XIXe s., notamment par Les Goncourt : Avec ce trapèze, au bout de ce tremplin des bras, qui développe des élasticités de muscles et de nerfs surhumaines, Gianni faisait mille exercices (E. DE GONCOURT, Zemganno, 1879, p. 53).
P. métaph. L'apparition de la matière et de ses modes est une nouvelle victoire des choses sur la nécessité : victoire due (...) à l'élasticité du tissu des causes et des espèces (E. BOUTROUX, Contingence, 1874, p. 61).
ANAT. Élasticité des poumons, des tissus. Le système artériel est comme une pompe à feu : il y a écoulement continu à cause de l'élasticité des artères (C. BERNARD, Notes, 1860, p. 174). Ces attaques de paralysie qui nous foudroient d'abord, mais après lesquelles les muscles tendent peu à peu à reprendre leur élasticité (PROUST, Fugit., 1922, p. 616).
2. [En parlant de l'allure, des mouvements d'une pers. ou d'un animal] Aisance, souplesse. Le Colonel, qui retrouva l'élasticité de la jeunesse pour franchir le saut de loup, fut en un clin d'œil devant l'intendant (BALZAC, Chabert, 1832, p. 127). La démarche avait une raideur, une gaucherie, et en même temps une élasticité, une jeunesse tout à fait nouvelles (MARTIN DU G., Thib., Pénitenc., 1922, p. 691).
3. Au fig.
a) [En parlant du caractère d'une pers.] Aptitude à se plier, à s'adapter intellectuellement, moralement, à une situation nouvelle. J'aime surtout l'élasticité de cette âme courageuse qui trouvait dans tous les malheurs une raison de rebondir (BARRÈS, Voy. Sparte, 1906, p. 111) :
3. Le sentiment prolongé d'un extrême et constant péril produit une usure intérieure qui détend jusqu'à l'anéantir notre élasticité morale.
BOURGET, Nos actes nous suivent, 1926, p. 17.
Péj. Élasticité de conscience. Manque de rigueur morale dans les principes ou dans les actes. Il n'y a pas un homme ici qui se regarde (...) comme lié absolument par une promesse; de là, cette élasticité de la conscience dans une foule de cas (DELACROIX, Journal, 1853, p. 26).
b) [En parlant du sens d'un mot ou d'une phrase, du contenu d'un texte] Possibilité d'être interprété ou appliqué de façon variable. Élasticité d'un budget. Il [M. de Lansac] avait usé (...) de l'élasticité des lois pour se rendre maître de la fortune de sa femme (SAND, Valentine, 1832, p. 206). Le pronom très indéfini « on », je l'emploie à dessein, à cause de son vague, de son élasticité : on peut mettre dessous ce que l'on désire (ARNOUX, Crimes innoc., 1952, p. 166).
c) [En parlant d'un ensemble organisé] :
4. ... autour de la terre ronde, le firmament lui-même s'enroula. Mais le foyer des sphères était mal placé. Par sa situation il paralysait incurablement l'élasticité du système.
TEILHARD DE CHARDIN, Le Phénomène humain, 1955, p. 240.
d) ÉCON. Élasticité de l'offre et de la demande. ,,Caractéristique donnée soit à l'offre, soit à la demande, pour indiquer qu'elle est susceptible de s'accroître selon diverses circonstances, et notamment sous l'influence des mouvements de prix`` (BAUDHUIN 1968). La constellation des élasticités d'importation et d'exportation par rapport au revenu et (...) au prix (...), est maintenant connue (PERROUX, Écon. XXe s., 1964, p. 70).
Rem. On rencontre ds la docum. élasticimètre, subst. masc. Appareil permettant de mesurer les déformations que subit un corps soumis à des forces internes ou externes. Il faut (...) veiller à ce que l'élasticité du verre (...) de la bouteille [de champagne] soit assez grande. Salleron a construit un élasticimètre qui donne d'excellents résultats (BRUNET, Mat. vinic., 1925, p. 512).
Prononc. et Orth. :[elastisite]. Ds Ac. 1740-1932. Étymol. et Hist. 1. [1687 d'apr. DAUZAT], av. 1732 (Hecquet ds Trév. 1732); 2. au fig. a) 1767, 23 févr. « énergie, vigueur de l'esprit ou du caractère » (VOLTAIRE, Lett. Chauvelin ds LITTRÉ : L'esprit mis à la gêne perd toute son élasticité); b) 1832 « flexibilité » l'élasticité des lois (SAND, Valentine, p. 206). Empr. au lat. sc. elasticitas, dér. de elasticus, v. élastique. Fréq. abs. littér. : 276. Fréq. rel. littér. :XIXe s. : a) 363, b) 420; XXe s. : a) 282, b) 467. Bbg. GOHIN 1903, p. 358.

élasticité [elastisite] n. f.
ÉTYM. 1687; lat. sc. mod. elasticitas, de elasticus. → Élastique.
1 Sc. et cour. Propriété qu'ont certains corps de reprendre (au moins partiellement) leur forme et leur volume primitifs quand la force qui s'exerçait sur eux cesse d'agir. || Élasticité des métaux : élasticité de traction, de torsion, de fluxion. || Grande élasticité des gaz ( Compressibilité, détente). || L'élasticité du caoutchouc. || Limite d'élasticité, au delà de laquelle les corps restent déformés. || Coefficient d'élasticité. Élastance. || Module d'élasticité, quotient de la contrainte exercée sur un corps par la déformation qui en résulte. || Élasticité d'un ressort; bonne élasticité d'un sommier, d'un siège. Souplesse. || Élasticité d'un textile, d'un tissu, d'un tricot. (1798). Physiol. || Élasticité de la peau (→ Derme, cit. 1), de la chair, des artères (→ Caoutchouteux, cit. 2). || Élasticité des muscles. Ton, tonicité, tonus (musculaire).
1 Cette propriété se trouve à un degré plus ou moins grand dans presque tous les corps, il y en a même dont l'élasticité est presque parfaite, c'est-à-dire qui paraissent reprendre exactement la même figure qu'ils avaient avant la compression… Cependant il paraît presque impossible qu'il se trouve des corps absolument doués d'une parfaite élasticité.
d'Alembert, Encycl., art. Élasticité.
2 Au milieu se trouvait un sofa en forme de trône. Quelques passants s'y asseyaient pour en éprouver l'élasticité (…)
Nerval, Aurélia, p. 384.
3 L'on ne distinguait que le craquement saccadé des fragments de la cage qui, en vertu de l'élasticité du bois, reprenait en partie la position primordiale de leur construction.
Lautréamont, les Chants de Maldoror, VI, p. 251.
2 Cour. Souplesse, aisance (de l'allure, des mouvements). || Élasticité des jambes, du pas, des reins, de la démarche. Agilité, souplesse (→ Aplomb, cit. 2).
4 Allant toujours du même pas, par longues enjambées, avec cette élasticité du genou qui est l'art des grands marcheurs (…)
E. Fromentin, Un été dans le Sahara, I, p. 90.
5 Il marchait en éprouvant à chaque pas, soigneusement, l'élasticité du jarret et du cou-de-pied (…)
Colette, la Fin de Chéri, p. 15.
5.1 L'air de Florence me paraît être la chose du monde la plus grisante que je connaisse. Nous y vivons dans un état de légèreté et d'élasticité que je n'avais jamais trouvé.
J.-R. Bloch, Deux hommes se rencontrent, p. 216.
3 (1767). Abstrait. Aptitude à réagir vivement, à se redresser. Ressort. || Élasticité de l'esprit.
6 (…) il ne faut jamais, dans aucun art, travailler contre son propre sentiment (…) l'esprit mis à la gêne perd toute son élasticité.
Voltaire, Lettre à Chauvelin, 3048, 23 févr. 1767.
4 Fig. Aptitude à se plier, à s'adapter (intellectuellement, moralement). Souplesse. || C'est un homme tout d'une pièce, qui manque d'élasticité. || L'élasticité d'un régime politique.
7 Impitoyable dictature que celle de l'opinion dans les sociétés démocratiques; n'implorez d'elle ni charité, ni indulgence, ni élasticité quelconque dans l'application de ses lois.
Baudelaire, Edgar Poe, sa vie et ses œuvres, in E. Poe, Œ., Pl., p. 1043.
8 Ce que la vie et la société exigent de chacun de nous, c'est une attention constamment en éveil, qui discerne les contours de la situation présente, c'est aussi une certaine élasticité du corps et de l'esprit, qui nous mette à même de nous y adapter. Tension et élasticité, voilà deux forces complémentaires l'une de l'autre que la vie met en jeu.
H. Bergson, le Rire, p. 14.
Péj. || L'élasticité d'une conscience, d'une morale, son manque de rigueur.
Possibilité de s'interpréter, de s'appliquer de façons diverses. || Élasticité d'un mot, d'une expression. Extensibilité. || Élasticité d'une loi, d'un règlement.
Spécialt. Possibilité de s'élargir. || Élasticité d'un budget. || Élasticité d'une majorité parlementaire.
Écon. || Élasticité d'un phénomène (par rapport à un autre), le quotient de leur variation relative. || L'élasticité de l'offre et de la demande.
CONTR. Dureté, inélasticité, rigidité, rigueur.

Encyclopédie Universelle. 2012.

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